Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 – Jac Board Solutions

Welcome to the official website of Jac Board Solutions. Here at this page Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 – Jac Board Solutions is given in PDF Format. The direct download links are given below on this page. You can find direct download links on this page.

झारखण्ड बोर्ड सलूशन की ऑफिसियल वेबसाइट पर आपका स्वागत है | इस पेज पर झारखण्ड बोर्ड Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 – Jac Board Solutions का सलूशन (हल) दिया गया है | यह सलूशन latest pattern पर आधारित है | सभी पीडीऍफ़ फाइल्स का डाउनलोड नीचे पेज पर दिया गया है |

Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
कल्पना कीजिए कि √5 अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है।
तब, √5 = \frac{p}{q}qp​ होना चाहिए जबकि q ≠ 0 तथा p व q पूर्ण संख्याएँ हैं।
माना p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
अब, √5 = \frac{p}{q}qp​
p = √5q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 5q²
p², संख्या 5 से विभाज्य है।
p भी संख्या 5 से विभाज्य है।
अब, p, 5 से विभाज्य है, तब माना कि p = 5r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p² = 25r²
परन्तु हमें यह भी ज्ञात है कि p² = 5q²
5q² = 25r² ⇒ q² = 5r²
तब, q², 5 से विभाज्य होगा।
तब, q भी 5 से विभाज्य होगा।
p भी 5 से विभाज्य है और q भी 5 से विभाज्य है।
5, p और q का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो 1 के अतिरिक्त है)।
यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी मान्यता के अनुसार p और में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।
यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना “√5 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण है।
अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

 

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल
माना 3 + 2√5 अपरिमेय नहीं, परिमेय संख्या है।
तब, 3 + 2√5 = \frac{p}{q}qp​ होना चाहिए जबकि q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं।

√5 भी एक परिमेय संख्या है परन्तु यह सर्वमान्य तथ्य है कि √5 परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है। तब यहाँ विरोधाभास है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी कल्पना “3 + 2√5 को परिमेय मानना” ही है।
इसलिए 3 + 2√5 परिमेय नहीं है।
अत: दी गई संख्या 3 + 2√5 अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) \frac{1}{\sqrt{2}}2​1​
(ii) 7√5
(iii) 6 + √2
हल
(i) माना दी गई संख्या \frac{1}{\sqrt{2}}2​1​ परिमेय है।
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q}2​1​=qp​ (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
माना p तथा q में 1 के अतिरिक्त कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{p}{q} \quad \Rightarrow \quad \frac{p^{2}}{q^{2}}=\frac{1}{2}2​1​=qp​⇒q2p2​=21​
⇒ q² = 2p² ……. (1)
q², 2 से विभाज्य है।
q भी 2 से विभाज्य है।
तब, माना q = 2r
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
q² = 4r² ……… (2)
समी० (1) और (2) से,
2p² = 4r²
⇒ p² = 2r²
p², संख्या 2 से विभाज्य है।
p भी 2 से विभाज्य है।
तब, p तथा व दोनों 2 से विभाज्य हैं।
p तथा 4 में 1 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्ड 2 भी सार्वनिष्ठ है जो कि हमारी मान्यता के विपरीत है।
इस विरोधाभास का कारण हमारी मान्यता कि “\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​ = परिमेय है” का असंगत एवं त्रुटिपूर्ण होना है।
\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​ परिमेय नहीं है।
अत: \frac{1}{\sqrt{2}}2​1​ अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

 

(ii) कल्पना कीजिए कि संख्या 7√5 परिमेय है।
तब, 7√5 = \frac{p}{q}qp​ (जहाँ q ≠ 0 और p तथा q धन पूर्णांक हैं)
\frac{p}{q}qp​ = 7√5 या \frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}=\sqrt{5}71​⋅qp​=5​
\frac{p}{q}qp​ परिमेय संख्या है तो \frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}71​⋅qp​ भी परिमेय संख्या होगी।
अब, \frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}71​⋅qp​ परिमेय संख्या है और \frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q}71​⋅qp​ = √5
तब, √5 भी परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परन्तु यह तथ्य सर्वमान्य है कि √5 परिमेय संख्या नहीं है। यहाँ एक विरोधाभास है जिसका कारण हमारी मान्यता कि “संख्या 7√5 परिमेय है” ही है जो असंगत और त्रुटिपूर्ण है।
अत: 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।
इति सिद्धम्

 

(iii) कल्पना कीजिए कि संख्या 6 + √2 परिमेय है।
तब, 6 + √2 = \frac{p}{q}qp​ (जहाँ q ≠ 0 तथा p तथा q धन पूर्णांक हैं)
6 + √2 = \frac{p}{q}qp​
√2 = \frac{p}{q}qp​ – 6
\frac{p}{q}qp​ परिमेय है; अतः (\frac{p}{q}qp​ – 6) भी परिमेय होगी।
(\frac{p}{q}qp​ – 6) = √2 तथा (\frac{p}{q}qp​ – 6) परिमेय है।
√2 भी परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य कि “√2 परिमेय संख्या है” असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई गलत कल्पना ही उत्तरदायी है। संख्या 6 + √2 परिमेय नहीं हो सकती।
अतः संख्या 6 + √2 अपरिमेय होगी।
इति सिद्धम्

Thanks! for visiting the official website of Jharkhand Board Solutions (JacBoardSolutions.in). Jai Hind!