Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 – Jac Board Solutions

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Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, ….., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ……, 100 पदों तक
(iv) \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}151​,121​,101​….., 11 पदों तक
हल
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : 2, 7, 12, …….., 10 पदों तक
पहला पद (a) = 2, सार्वान्तर (d) = 7 – 2 = 5, पदों की संख्या (n) = 10
n पदों का योग, S_n = \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1)d]
10 पदों तक योग, S₁₀ = \frac{10}{2}210​ [2 × 2 + (10 – 1)5]
= 5[4 + (9 × 5)]
= 5[4 + 45]
= 5 × 49
= 245
अत: 10 पदों तक का योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : -37, -33, -29, ….., 12 पदों तक
पहला पद (a) = -37, सार्वान्तर (d) = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4,
पदों की संख्या (n) = 12
पदों का योग, S_n = \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1)d]
12 पदों का योग, S₁₂ = \frac{12}{2}212​ [(2 × -37) + (12 – 1) × 4]
= 6[-74 + (11 × 4)]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30)
= -180
अत: 12 पदों तक का योग = -180

 

(iii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : 0.6, 1.7, 2.8, …… , 100 पदों तक
पहला पद (a) = 0.6, सार्वान्तर (d) = 1.7 – 0.6 = 1.1, पदों की संख्या (n) = 100
पदों तक योग, S_n = \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1)d]
100 पदों तक योग, S₁₀₀ = \frac{100}{2}2100​ [(2 × 0.6) + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1
= 5505
अत: 100 पदों तक का योग = 5505

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\frac{1}{2}21​ + 14 +…..+ 84
(ii) 34 + 32 + 30 +………+10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230)
हल

प्रश्न 3.
एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। n और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल
(i) दिया है, a = 5, d = 3 और a_n = 50
अनुक्रम A.P. में है और a_n = 50
a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
⇒ n = 16
सूत्र S_n = \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1) d] से,
S₁₆ = \frac{16}{2}216​ [(2 × 5) + (16 – 1) × 3]
= 8 [10 + (15 × 3)]
= 8 [10 + 45]
= 8 × 55
= 440
अत: n = 16 तथा S_n = 440

 

(ii) दिया है, a = 7 और a₁₃ = 35
यहाँ, a₁₃ = 35

= \frac {13}{2}213​ × 42
= 13 × 21
= 273
अत: d = \frac{7}{3}37​ तथा S₁₃ = 273

(iii) दिया है, a₁₂ = 37 और d = 3
यहाँ, a₁₂ = 37
⇒ a + (12 – 1)d = 37
⇒ a + 11d = 37
⇒ a + 11 x 3 = 37
⇒ a + 33 = 37
⇒ a = 4
तब, S₁₂ = \frac{12}{2}212​ [2a + (12 – 1)d]
= 6 [(2 × 4) + 11 × 3]
= 6[8 + 33]
= 6 × 41
= 246
अत: a = 4 तथा S₁₂ = 246

 

(iv) दिया है, a₃ = 15 और S₁₀ = 125
a₃ = 15
a + (3 – 1)d = 15
a + 2d = 15 …… (1)
और S₁₀ = 125
\frac{10}{2}210​ [2a + (10 – 1)d] = 125
2a + 9d = \frac{125 \times 2}{10}10125×2​ = 25
2a + 9d = 25 …….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने पर,
(2a + 9d) – (2a + 4d) = 25 – 30
5d = -5
d = -1
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2(-1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a10 = a + (10 – 1)d
= 17 + 9 × (-1)
= 17 – 9
= 8
a₁₀ = 8
अतः d = -1 और a₁₀ = 8

 

(v) दिया है, d = 5 और S₉ = 75
S₉ = \frac{9}{2}29​ [2a + (9 – 1)d]
= \frac{9}{2}29​ [2a + 8d]
= 9a + 36d
= 9(a + 4d)
परन्तु S₉ = 75 दिया है
9(a + 4d) = 75

(viii) दिया है, a_n = 4, d = 2 और S_n = -14
यहाँ, a_n = 4
⇒ a + (n – 1)d = 4
⇒ a + (n – 1)2 = 4
⇒ a + 2n – 2 = 4
⇒ a + 2n = 6 ……..(1)
S_n = -14
\frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1) 2] = -14
⇒ n[a + n – 1] = -14 ……..(2)
समीकरण (1) से, a = 6 – 2n
तब, समीकरण (2) में a का मान रखने पर,
n(6 – 2n + n – 1) = -14
⇒ n(5 – n) = -14
⇒ 5n – n² = -14
⇒ n² – 5n – 14 = 0
⇒ n² – 7n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2 (n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = -2
n एक धन पूर्णांक होना चाहिए।
n = 7
तब, a = 6 – 2n = 6 – (2 × 7) = 6 – 14 = -8
a = -8 तथा n = 7

 

(ix) दिया है, a = 3, n = 8 और S_n = 192
S_n = \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1) d] से,
⇒ \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1)d] = 192 [∵ S = 192, दिया है]
⇒ \frac{8}{2}28​ [(2 × 3) + (8 – 1) d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
⇒ d = 6
अत: d = 6

(x) दिया है, अन्तिम पद, l = 28, S = 144 और कुल पद = 9
सूत्र, S = \frac{n}{2}2n​ [a + l] से,
⇒ 144 = \frac{9}{2}29​ [a + 28]
⇒ 288 = 9[a + 28]
⇒ 288 = 9a + 252
⇒ 9a = 288 – 252
⇒ 9a = 36
⇒ a = 4
अतः a = 4

 

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A.P.: 9, 17, 25,….. के कितने पद लेने चाहिए?
हल
दी गई A.P. : 9, 17, 25, ……..
यहाँ a = 9 तथा d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है। .
S_n = 636 (दिया है)
⇒ \frac{n}{2}2n​ [2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \frac{n}{2}2n​ [2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \frac{n}{2}2n​ [18 + 8n – 8] = 636
⇒ \frac{n}{2}2n​ [8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या -\frac{53}{4}−453​
परन्तु n एक धन पूर्णांक होना चाहिए।
n = 12
अत: 12 पद लेने चाहिए।

 

प्रश्न 5.
किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, प्रथम पद (a) = 5, अन्तिम पद (l) = 45 योग (S) = 400
माना पदों की संख्या n है।
सूत्र, S = \frac{n}{2}2n​ (a + l) से,
400 = \frac{n}{2}2n​ [5 + 45]
400 = \frac{n}{2}2n​ × 50
25n = 400
n = 16
अन्तिम पद (l) = 45 परन्तु 16 वाँ पद भी अन्तिम पद है।
a₁₆ = 45
a + (16 – 1)d = 45
5 + 15d = 45
15d = 45 – 5 = 40
d = \frac{40}{15}=\frac{8}{3}1540​=38​
अतः पदों की संख्या n = 16 तथा सार्वान्तर = \frac{8}{3}38​

प्रश्न 6.
किसी A.P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल
दिया है, प्रथम पद (a) = 17 अन्तिम पद (l) = 350 तथा सार्वान्तर (d) = 9
माना दी गई A.P. में पदों की संख्या n हैं।
तब, अन्तिम पद, l = n वाँ पद
l = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)9
350 – 17 = 9n – 9
350 – 17 + 9 = 9n
9n = 342
n = 38
तब, 38 पदों का योग, S38 = \frac{n}{2}2n​ (a + l)
= \frac{38}{2}2Thanks! for visiting the official website of Jharkhand Board Solutions (JacBoardSolutions.in). Jai Hind!