Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 – Jac Board Solutions

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Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}SRQS​=PRPQ​ है।
हल
दिया है : ∆PQR में PS कोण QPR का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है : \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}SRQS​=PRPQ​
रचना : बिन्दु R से रेखा RT || PS खींची जो बढ़ाई गई QP को T पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति : TR || PS और PR तिर्यक रेखा है
∠SPR = ∠PRT (एकान्तर कोण-युग्म है) ……(1)
पुन: TR || PS और QT तिर्यक रेखा है।
∠QPS = ∠PTR (संगत कोण-युग्म है) ……(2)
परन्तु PS, ∠QPR का समद्विभाजक है।
∠QPS = ∠SPR …….(3)
तब, समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠PTR = ∠PRT
∆PTR की भुजा PT = PR ……(4)

अब, ∆QTR में, PS || TR
\frac{P Q}{P T}=\frac{Q S}{S R}PTPQ​=SRQS​
परन्त समीकरण (4) से, PT = PR
अतः \frac{P Q}{P R}=\frac{Q S}{S R} \Rightarrow \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}PRPQ​=SRQS​⇒SRQS​=PRPQ​
इति सिद्धम्

 

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में D, ∆ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC, DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि-
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN

हल
दिया है : समकोण ∆ABC में ∠ABC = 90°
BD ⊥ AC, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB
सिद्ध करना है :
(i) DM² = DN . MC
(ii) DN² = DM . AN
उपपत्ति : समकोण ∆ABC में, BD ⊥ AC (दिया है)
∆BDC ~ ∆ABC और ∆ADB ~ ∆ABC
जिससे ∆BDC ~ ∆ADB
तथा ∆BDC और ∆ADB समकोणीय हैं।
(i) समकोण ∆BDC में, DM ⊥ BC (दिया है)
∆DMC ~ ∆BMD
\frac{M C}{D M}=\frac{D M}{B M}DMMC​=BMDM​
⇒ DM² = BM × MC …….(1)
चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BM = DN ………(2)
तब, समीकरण (1) व (2) से,
DM² = DN . MC
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆ADB में, DN ⊥ AB (दिया है)
∆AND और ∆DNB में,
\frac{D N}{B N}=\frac{A N}{D N}BNDN​=DNAN​
⇒ DN² = BN . AN …….(3)
परन्तु, चतुर्भुज BMDN में,
∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠N = 90°
चतुर्भुज BMDN एक आयत है।
BN = DM ……(4)
तब, समीकरण (3) व (4) से,
DN² = DM · AN
इति सिद्धम्

 

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∆ABC में, ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
उपपत्ति : समकोण ∆ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
पुनः समकोण ∆ACD में,
AC² = AD² + DC²
= AD² + (BD + BC)² (∵ DC = BD + BC)
= AD² + BD² + BC² + 2BC . BD [∴ (BD + BC)² के विस्तार से]
= AB² + BC² + 2BC . BD [∴ समीकरण (1) से ]
अतः AC² = AB² + BC² + 2BC . BD
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2BC . BD है।

हल
दिया है : ∠B < 90° तथा AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
उपपत्ति : AD ⊥ BC
∆ABD तथा ∆ACD समकोणीय त्रिभुज हैं।
तब, समकोण त्रिभुज ABD में,
AB² = AD² + BD² ……(1)
और समकोण त्रिभुज ACD में,
AC² = AD² + DC² …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
AC² – AB² = DC² – BD²
⇒ AC² – AB² = (DC + BD) (DC – BD) (∵ (a + b) (a – b) = a² – b²)
⇒ AC² – AB² = BC(DC – BD) (∵ DC + BD = BC)
⇒ AC² – AB² = BC(BC – BD – BD) (∵ DC = BC – BD)
⇒ AC² – AB² = BC (BC – 2BD)
⇒ AC² – AB² = BC² – 2BC × BD
अत: AC² = AB² + BC² – 2BC . BD
इति सिद्धम्

 

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि-

हल
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें D, भुजा BC का मध्य-बिन्दु AM, BC पर लम्ब खींचा गया है और AC > AB
सिद्ध करना है :

उपपत्ति : (i) समकोण ∆AMD में, AM² + DM² = AD² …..(1)
समकोण ∆AMC में,
AC² = AM² + MC²
= (AD² – DM²) + MC² [समीकरण (1) से AM² = AD² – DM²]
= AD² – DM² + (DM + DC)² [∵ MC = DM + DC]
= AD² – DM² + DM² + 2DM . DC + DC²
= AD² + 2 DM . DC + (\frac{1}{2}21​ BC)² [∵ D, BC मध्य-बिन्दु है]
= AD² + (2DC). DM + \frac{1}{4}41​ BC² [∵ 2DC = BC]
अत: AC² = AD² + BC . DM + \left(\frac{B C}{2}\right)^{2}(2BC​)2 ……(2)
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆AMB में,
AB² = AM² + BM²
= (AD² – DM²) + BM²
= AD² – DM² + (BD – DM)²
= AD² – DM² + BD² – 2BD . DM + DM² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= AD² – 2BD . DM + BD²
= AD² – BC . DM + \left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}(21​BC)2 [∵ D, BC का मध्य-बिन्दु है।]
AB² = AD² – BC . DM + \frac{1}{4}41​ BC² …….(3)
अत: AB² = AD² – BC . DM + \left(\frac{B C}{2}\right)^{2}(2BC​)2
इति सिद्धम्

(iii) खण्ड (i) व खण्ड (ii) के परिणामों का योग करने पर,
AB² + AC² = 2AD² + 2 . \frac{1}{4}41​ BC² = 2AD² + \frac{1}{2}21​ BC²
अत: AB² + AC² = 2AD² + \frac{1}{2}21​ BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA²
रचना : A से BD पर AE C से BD पर CF लम्ब खींचा।
उपपत्ति: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AC तथा BD उसके विकर्ण हैं जो परस्पर O पर काटते हैं।
∴ AO = OC, OB = OD तथा AB = CD
तब, समकोण ∆ABE में,

 

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP

हल
दिया है : एक वृत्त की AB व CD दो जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP
रचना : रेखाखण्ड AD व CB खींचे।
उपपत्ति : (i) जीवा AB और CD परस्पर P पर काटती हैं।
शीर्षाभिमुख कोण ∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
और ∠ACP = ∠DBP (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)

अब, ∆APC और ∆BPD में,
∠APC = ∠BPD
∠CAP = ∠BDP
∠ACP = ∠DBP
दो त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी AAA से,
∆APC ~ ∆DPB
इति सिद्धम्
(ii) ∆APC और ∆DPB में,
\frac{A P}{D P}=\frac{C P}{P B}DPAP​=PBCP​
अत: AP . PB = CP . DP
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD

हल
दिया है : AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर एक-दूसरे को वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD
रचना : रेखाखण्ड AC व BD को मिलाया।
उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और ∠PAC उसका बहिष्कोण है।
∠PAC = ∠BDC
⇒ ∠PAC = ∠BDP
इसी प्रकार, ∠PCA, चक्रीय चतुर्भुज ABCD का बहिष्कोण है।
∠PCA = ∠ABD
∠PCA = ∠PBD …..(2)
अब, ∆PAC और ∆PBD में,
∠CPA = ∠BPD (दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण है)
∠PAC = ∠BDP [समीकरण (1) से]
∠PCA = ∠PBD [समीकरण (2) से]
दो त्रिभजों की समरूपता के गुणधर्म AAA से,
∆PAC ~ ∆PDB
इति सिद्धम्
(ii) ∵ ∆PAC ~ ∆PDB
\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}PDPA​=PBPC​
⇒ PA . PB = PC . PD
इति सिद्धम्

 

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}CDBD​=ACAB​ है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

हल
दिया है : ∆ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D ऐसा है कि \frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}CDBD​=ACAB​Thanks! for visiting the official website of Jharkhand Board Solutions (JacBoardSolutions.in). Jai Hind!