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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 – Jac Board Solutions

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 Text Book Questions and Answers.

Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

Jac Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल
मंगलवार से शनिवार तक दिनों की संख्या = 5
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 5 × 5 = 25
(i) दोनों ग्राहकों के एक ही दिन जाने के अनुकूल परिणाम = (T, T) (W, W) (Th, Th) (F, F) (S, S) = 5
अतः दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता =

$\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

255​=51​

(ii) दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने के अनुकूल परिणाम

अत: दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने की प्रायिकता =

$\frac{8}{25}$

258​

(iii) दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता P =

$\frac{1}{5}$

51​
दोनों के दुकान पर एक ही दिन न जाने की प्रायिकता P’ = 1 – P
= 1 –

$\frac{1}{5}$

51​
=

$\frac{4}{5}$

54​
अत: दोनों के दुकान पर भिन्न-भिन्न दिनों में जाने की प्रायिकता =

$\frac{4}{5}$

54​

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम-से-कम 6 है?
हल
सारणी की पूर्ति पहली बार फेंकने के मान

(i) कुल योग सम संख्या होने के अनुकूल परिणाम = घेरे वाले अंक = 18
कुल सम्भव परिणाम = 6 × 6 = 36
अतः योग सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता =

$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$

3618​=21​

(ii) कुल योग 6 हो, इसके अनुकूल परिणाम = 4
और कुल सम्भव परिणाम = 36
अतः योग 6 होने की प्रायिकता =

$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

364​=91​

(iii) कुल योग कम-से-कम 6 होने के अनुकूल परिणाम = 15
कुल सम्भव परिणाम = 36
अत: योग कम-से-कम 6 होने की प्रायिकता =

$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

3615​=125​

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना थैले में नीली गेंदों की संख्या x है।
कुल गेंदों की संख्या = 5 लाल + x नीली = (5 + x)
थैले में से यदृच्छया 1 गेंद निकालने पर,
कुल सम्भव परिणाम = (5 + x)
लाल गेंद निकालने के अनुकूल परिणाम = 5
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P(R) =

$\frac{5}{5+x}$

5+x5​
तब, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता P(B) = 1 – P(R)
= 1 –

$\frac{5}{5+x}$

5+x5​
=

$\frac{x}{5+x}$

5+xx​
प्रश्नानुसार, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 × लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
⇒

$\frac{x}{5+x}=2 \times \frac{5}{5+x}$

5+xx​=2×5+x5​
⇒

$\frac{x}{5+x}=\frac{10}{5+x}$

5+xx​=5+x10​
⇒ x = 10
अतः थैले में नीली गेंदों की संख्या = 10

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल
पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
यदि पेटी में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, तो गेंद निकाले जाने के कुल सम्भव परिणाम = 12
निकाली गई गेंद काली होने के अनुकूल परिणाम = x
अतः निकाली गई गेंद काली होने की प्रायिकता =

$\frac{x}{12}$

12x​
यदि पेटी में 6 काली गेंद और मिला दी जाएँ तो काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = x + 6
तथा कुल सम्भव परिणाम = 12 + 6 = 18
अतः अब काली गेंद निकलने की प्रायिकता =

$\frac{x+6}{18}$

18x+6​
प्रश्नानुसार, वर्तमान प्रायिकता = 2 × पहले की प्रायिकता
⇒

$\frac{x+6}{18}=2 \times \frac{x}{12}$

18x+6​=2×12x​
⇒

$\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}$

18x+6​=6x​
⇒ 6(x + 6) = 18x
⇒ 18x = 6x + 36
⇒ 18x – 6x = 36
⇒ 12x = 36
⇒ x = 3
अत: x का मान = 3

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता

$\frac{2}{3}$

32​ है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 कंचा यदृच्छया निकाला जाता है, तो कंचे के हरे होने की प्रायिकता =

$\frac{x}{24}$

24x​
परन्तु दिया है कि कंचे के हरे होने की प्रायिकता

$\frac{2}{3}$

32​ है।

$\frac{x}{24}=\frac{2}{3}$

24x​=32​
⇒ 3x = 48
⇒ x = 16
जार में हरे कंचों की संख्या = 16
जार में नीले कंचों की संख्या = 24 – 16 = 8
अत: जार में नीले कंचों की संख्या = 8

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions – Jac Board Solutions

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions and Answers.

Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

Jac Board Class 10 Maths प्रायिकता Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि कोई घटना घटित नहीं होती है, तो इसकी प्रायिकता है
(i) 1
(ii)

$\frac{3}{4}$

43​
(iii)

$\frac{1}{2}$

21​
(iv) 0
हल
(iv) 0

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन-सी, किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(i)

$\frac{1}{3}$

31​
(ii) 0.1
(iii) 0.3
(iv)

$\frac{17}{16}$

1617​
हल
(iv)

$\frac{17}{16}$

1617​

प्रश्न 3.
एक घटना बहुत असमान है, इसकी प्रायिकता निकटतम है
(i) 0.0001
(ii) 0.001
(iii) 0.01
(iv) 0.1
हल
(iv) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि एक घटना की प्रायिकता P है, इसके पूरक घटना की प्रायिकता होगी
(i) P – 1
(ii) P
(iii) 1 – P
(iv) 1 –

$\frac{1}{P}$

P1​
हल
(iii) 1 – P

प्रश्न 5.
किसी निश्चित घटना की प्रायिकता की प्रतिशतता कभी भी नहीं हो सकती
(i) 100 से कम
(ii) शून्य से कम
(iii) 1 से अधिक
(iv) कोई भी परन्तु एक पूर्ण संख्या
हल
(ii) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A), घटना A की प्रायिकता व्यक्त करती है. तब
(i) P(A) < 0
(ii) P(A) > 1
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(iv) -1 ≤ P(A) ≤ 1
हल
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता चुना गया है। इसके लाल फेस कार्ड हाने की प्रायिकता है
(i)

$\frac{3}{26}$

263​
(ii)

$\frac{3}{13}$

133​
(iii)

$\frac{2}{13}$

132​
(iv)

$\frac{1}{2}$

21​
हल
(i)

$\frac{3}{26}$

263​

प्रश्न 8.
यदृच्छया चुने गये एक नोन-लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता है
(i)

$\frac{1}{7}$

71​
(ii)

$\frac{2}{7}$

72​
(iii)

$\frac{3}{7}$

73​
(iv)

$\frac{5}{7}$

75​
हल
(i)

$\frac{1}{7}$

71​

प्रश्न 9.
जब एक पासे को उछाला जाता है, तीन से छोटी विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है
(i)

$\frac{1}{6}$

61​
(ii)

$\frac{1}{3}$

31​
(iii)

$\frac{1}{2}$

21​
(iv) 0
हल
(i)

$\frac{1}{6}$

61​

प्रश्न 10.
ताश की 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है उस पत्ते के पान का इक्का न होने की प्रायिकता E है। E के संभव परिणाम हैं।
(i) 4
(ii) 13
(iii) 48
(iv) 51
हल
(iv) 51

प्रश्न 11.
400 अंडों के एक संग्रह में से एक खराब अंडा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है। इस संग्रह में खराब अंडों की संख्या है
(i) 7
(ii) 14
(iii) 21
(iv) 28
हल
(ii) 14

प्रश्न 12.
कोई लड़की एक कलन परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लॉटरी में प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकट बेचे गए हैं, तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं?
(i) 40
(ii) 240
(iii) 480
(iv) 750
हल
(iii) 480

प्रश्न 13.
किसी थैले में कुछ टिकट हैं, जिन पर 1 से 40 तक संख्याएँ अंकित हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से एक टिकट निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता कि निकाले गए इस टिकट की संख्या 5 का एक गुणज हो, निम्नलिखित है
(i)

$\frac{1}{5}$

51​
(ii)

$\frac{3}{5}$

53​
(iii)

$\frac{4}{5}$

54​
(iv)

$\frac{1}{3}$

31​
हल
(i)

$\frac{1}{5}$

51​

प्रश्न 14.
किसी व्यक्ति से 1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनने को कहा जाता है। इस संख्या के अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है
(i)

$\frac{1}{5}$

51​
(ii)

$\frac{6}{25}$

256​
(iii)

$\frac{1}{4}$

41​
(iv)

$\frac{13}{50}$

5013​
हल
(iii)

$\frac{1}{4}$

41​

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 4 लाल तथा 6 काली गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली गई। एक काली गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
जब थैले से यदृच्छया एक गेंद बाहर निकाली जाती है तो निकाली गई गेंद के लाल होने की कुल सम्भावनाएँ 4 हैं तथा गेंद काली होने की सम्भव घटनाएँ 6 हो सकती हैं।
कुल सम्भावित परिणाम = 6 + 4 = 10
और गेंद काली होने के सम्भव परिणाम = 6
अत: निकाली गई गेंद काले रंग की होने की प्रायिकता =

$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

106​=53​

प्रश्न 2.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
पासे पर सम संख्या (2, 4, 6) = 3
कुल संख्या = 6
सम संख्या आने की प्रायिकता =

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

63​=21​

प्रश्न 3.
एक थैले में एक से लेकर दस अंक तक के दस टिकट हैं, थैले से यदृच्छया एक टिकट निकाला जाता है। निकाले गए टिकट पर विषम अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
थैले में 1 से लेकर 10 अंक तक के टिकट हैं।
n(S) = 10
विषम अंक 1, 3, 5, 7, 9 होंगे।
n(E) = 5
विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता =

$\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

n(S)n(E)​=105​=21​

प्रश्न 4.
अच्छे प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। उस पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
गड्डी में कुल 52 पत्ते हैं
अत: गड्डी में से 1 पत्ता निकालने पर कुल सम्भव परिणाम = 52
52 पत्तों में इक्के केवल 4 हैं।
इक्का निकालने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.7 है तो उस घटना के न घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
घटना के न घटित होने की प्रायिकता = 1 – घटना के घटित होने की प्रायिकता
= 1 – 0.7
= 0.3

प्रश्न 6.
एक असम्भव घटना की प्रायिकता कितनी होती है?
उत्तर
असम्भव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

प्रश्न 7.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता कितनी होगी?
उत्तर
निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होगी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गयी गेंदे (i) काली या सफेद हो, (ii) लाल हो।
हल
थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं।
(i) कुल गेंद = 6 + 7 + 2 = 15
काली गेंद = 6
काली गेंद निकालने की प्रायिकता =

$\frac{6}{15}$

156​
सफेद गेंद = 2
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता =

$\frac{2}{15}$

152​
अतः काली या सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता =

$\frac{6}{15}+\frac{2}{15}=\frac{8}{15}$

156​+152​=158​

(ii) थैले में लाल गेंद = 7
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता =

$\frac{7}{15}$

157​

प्रश्न 2.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्ति की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) दो शीर्ष,
(ii) कम-से-कम एक शीर्ष।
हल
यदि शीर्ष को H तथा पुच्छ को T से प्रदर्शित किया जाए तो दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर,
(i) प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}
n(S) = 4
दोनों शीर्ष एक बार (H, H)
दो शीर्ष आने की प्रायिकता =

$\frac{1}{4}$

41​

(ii) कम-से-कम एक शीर्ष n(E) = 3 {HT, TH, TT}
कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता =

$\frac{3}{4}$

43​

प्रश्न 3.
एक कक्षा में 18 लड़कियाँ तथा 16 लड़के हैं। कक्षा अध्यापिका को एक विद्यार्थी कक्षा प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक विद्यार्थी का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, जबकि कार्ड एक जैसे हैं। फिर वह इन कार्यों को एक थैले में डालकर अच्छी तरह हिलाती है और तब थैले में से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा हुआ नाम
(i) लड़की का है?
(ii) लड़के का है?
हल
(i) कार्ड एक जैसे हैं तथा कार्ड निकालने से पहले उन्हें अच्छी तरह हिलाया गया है, अत: सभी परिणाम समप्रायिक हैं।
लड़कियों का नाम लिखे कार्यों की संख्या = 18
तथा लड़कों का नाम लिखे कार्डों की संख्या = 16
एक कार्ड निकालने पर कुल परिणामों की संख्या = 18 + 16 = 34
जबकि लड़की के नाम का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
लड़की का कार्ड निकलने की प्रायिकता =

$\frac{18}{34}=\frac{9}{17}$

3418​=179​

(ii) अब लड़के का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 16
लड़के का कार्ड निकलने की प्रायिकता =

$\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$

3416​=178​

प्रश्न 4.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
(i) कम-से-कम एक पट
(ii) अधिक-से-अधिक दो चित।
हल
दो सिक्कों की उछाल में प्रतिदर्श समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT}
(i) कम-से-कम एक पट आने की घटना
E₁ = {TH, HT, TT}
इसकी प्रायिकता P(E₁) =

$\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{4}$

n(S)n(E)​=43​

(ii) अधिक-से-अधिक दो चित आने की घटना
E₂ = {HH, HT, TH, TT} = S
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E₂) =

$\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{4}=1$

n(S)n(E)​=44​=1

प्रश्न 5.
एक थैले में 2 लाल, 3 सफेद और 4 नीले कंचे हैं। यदि इस थैले में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता होगी कि यह कंचा-
(i) सफेद है?
(ii) लाल है?
हल
थैले में कुल कंचे = 2 + 3 + 4 = 9 = n(S)
(i) सफेद कंचे = 3 = n(E₁)
सफेद कंचा निकालने की प्रायिकता =

$\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

n(S)n(E1​)​=93​=31​

(ii) थैले में लाल कंचे = 2 = n(E₂)
लाल कंचा निकालने की प्रायिकता =

$\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{2}{9}$

n(S)n(E2​)​=92​

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 20 गेंदें हैं, जिनमें 1, 2, 3, ….., 20 अंक लिखे गए हैं। बॉक्स में से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद पर लिखी संख्या
(i) 3 से विभाज्य है
(ii) 3 से विभाज्य नहीं है।
हल
(i) गेंदों की कुल संख्या = 20
यदि एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3,…., 20) = 20
इन परिणामों में से 3 से विभाज्य संख्याएँ = (3, 6, 9, 12, 15, 18) = 6
अत: गेंद पर लिखी संख्या के 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता =

$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

206​=103​

(ii) प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य है + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒

$\frac{3}{10}$

103​ + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒ प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1 –

$\frac{3}{10}$

103​ =

$\frac{7}{10}$

107​

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक पेटी में 30 डिस्क हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
विश्लेषण : चित्र में 30 डिस्क दिखाई गई हैं प्रत्येक डिस्क पर 1 से 30 तक की कोई एक संख्या अंकित है। कोई संख्या न तो विलुप्त है और न दोहराई गई (दुबारा लिखी गई) है।
इन डिस्क्स को एक पेटी में रखा गया है।
पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है।
डिस्क पर अंकित संख्या के लिए,

कुल सम्भावित परिणाम = 30
(i) यदृच्छया चुनी डिस्क पर अंकित संख्या दो अंकों की हो; इस घटना के अनुकूल परिणाम = 21
दो अंकों वाली संख्याएँ = 21
अत: निकाली डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या अंकित होने की प्रायिकता

(ii) यदृच्छया चुनी डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित हो। घटना के अनुकूल परिणाम = 1, 4, 9, 16, 25, कुल 5 परिणाम हैं।
अत: निकाली गई डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता

प्रश्न 2.
कार्ड, जिन पर 5 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं, एक बॉक्स में रखकर अच्छी तरह से मिलाए जाते हैं। तब बॉक्स में से एक कार्ड यदच्छया निकाला गया। निकाले गए कार्ड पर निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) 10 से छोटी एक अभाज्य संख्या।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
बॉक्स में रखे कार्ड्स पर अंकित कुल संख्याएँ प्रतिदर्श

∴ n(S) = 46
प्रतिदर्श समष्टि S में,
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ = 5 व 7 और ⇒ n(A) = 2
पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 9, 16, 25, 36, 49 ⇒ n(E) = 5
(i) निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी अभाज्य संख्या अंकित होने की घटना A हो तो n(A) = 2
अत: बॉक्स से यदृच्छया निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी संख्या अंकित होने की प्रायिकता

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{46}=\frac{1}{23}$

P(A)=n(S)n(A)​=462​=231​

(ii) जब बॉक्स में से यदृच्छया एक कार्ड निकाला जाए और निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या के पूर्ण वर्ग होने की घटना E हो तो n(E) = 5
अतः निकाले गए कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता,

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{46}$

P(E)=n(S)n(E)​=465​

प्रश्न 3.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, ₹ 2 के 30 सिक्के, ₹ 5 के 20 सिक्के और ₹ 10 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) ₹ 2 का होगा?
(ii) ₹ 10 का नहीं होगा?
हल
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 30
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 10 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब
(i) यदि गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का होने की घटना H हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 30
तथा कुल सम्भव परिणाम = 30 + 20 + 10 = 60
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का हो, इसकी प्रायिकता
P(H) =

$\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$

6030​=21​

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने के अनुकूल परिणाम 10 हैं।
गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने की प्रायिकता =

$\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$

6010​=61​
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का न होने की प्रायिकता = 1 –

$\frac{1}{6}$

61​ =

$\frac{5}{6}$

65​

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions – Jac Board Solutions

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions and Answers.

Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions

Jac Board Class 10 Maths सांख्यिकी Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूत्र

$\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$

xˉ=a+Σfi​Σfi​di​​ में, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए a से विचलन
d_i है, a है
(i) वर्गों की निम्न सीमाएँ
(ii) वर्गों की उच्च सीमाएँ
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु
(iv) वर्गों की बारम्बारताएँ
हल
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
जब वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य की गणना करते हैं, तो हम मानते हैं कि बारम्बारताएँ हैं
(i) सभी वर्गों के लिए समान बंटित
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित
(iii) वर्गों की उच्च सीमा पर केन्द्रित
(iv) वर्गों की निम्न सीमा पर केन्द्रित
हल
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित

प्रश्न 3.
यदि x_i वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु तथा f_i उनकी संगत बारम्बारताएँ और

$\bar{x}$

xˉ माध्य हो, तो

$\Sigma\left(f_{i} x_{i}-\bar{x}\right)$

Σ(fi​xi​−xˉ) बराबर है
(i) 0
(ii) -1
(iii) 1
(iv) 2
हल
(i) 0

प्रश्न 4.
सूत्र

$\bar{x}=a+h \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}$

xˉ=a+hΣfi​Σfi​ui​​ में, वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए u_i बराबर है
(i)

$\frac{x_{i}+a}{h}$

hxi​+a​
(ii) h(x_i – a)
(iii)

$\frac{x_{i}-a}{h}$

hxi​−a​
(iv)

$\frac{a-x_{i}}{h}$

ha−xi​​
हल
(iii)

$\frac{x_{i}-a}{h}$

hxi​−a​

प्रश्न 5.
वर्गीकृत आँकड़ों का ‘से कम प्रकार का’ और ‘से अधिक प्रकार का’ संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के भुज (x-अक्ष) पर काटता है, तब इससे प्राप्त होता है
(i) माध्य
(ii) माध्यिका
(iii) बहुलक
(iv) ये सभी
हल
(ii) माध्यिका

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है
(i) 15
(ii) 25
(iii) 30
(iv) 35
हल
(ii) 25

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा है।
(i) 17
(ii) 17.5
(iii) 18
(iv) 18.5
हल
(iii) 18

प्रश्न 8.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग है
(i) 10 – 20
(ii) 20 – 30
(iii) 30 – 40
(iv) 50 – 60
हल
(iii) 30 – 40

प्रश्न 9.
दिए आँकड़े हैं

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है।
(i) 0
(ii) 19
(iii) 20
(iv) 38
हल
(iii) 20

प्रश्न 10.
110 मी की बाधा दौड़ में 150 एथलीटों द्वारा लिया गया समय (सेकंड में) नीचे सारणीबद्ध किया गया है।

एथलीटों की संख्या जिन्होंने रेस को 14.6 सेकण्ड से कम समय में पूरा किया है।
(i) 11
(ii) 71
(iii) 82
(iv) 130
हल
(iii) 82

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बंटन में विद्यार्थियों की संख्या

वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता है
(i) 3
(ii) 4
(iii) 48
(iv) 51
हल
(i) 3

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गणित विषय की परीक्षा में 10 छात्रों ने निम्नलिखित अंक प्राप्त किये
38, 17, 20, 8, 19, 35, 45, 15, 34, 14
प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
पदों को आरोही क्रम में रखने पर,
8, 14, 15, 17, 19, 20, 34, 35, 38, 45
पदों की संख्या N = 10 है जो कि सम है।

प्रश्न 2.
किसी बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए यदि इसकी माध्यिका 45 और बहुलक 13 हो।
हल
बहुलक, माध्य तथा माध्यिका के बीच सम्बन्ध :
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
अथवा 2 × माध्य = 3 × माध्यिका – बहुलक
= 3 × 45 – 13
= 135 – 13
= 122
माध्य =

$\frac{122}{2}$

2122​ = 61

प्रश्न 3.
यदि किसी बंटन का माध्य 16 और बहुलक 13 हो तो बंटन माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
⇒ 13 = 3(माध्यिका) – 2 × 16
⇒ 3(माध्यिका) = 13 + 32 = 45
⇒ माध्यिका =

$\frac{45}{3}$

345​ = 15

प्रश्न 4.
यदि प्रेक्षणों x₁, x₂, x₃, ….., x_n, की बारम्बारताएँ क्रमशः f₁, f₂, f₃,…..,f_n हों तो इनका माध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र लिखिए।
हल

प्रश्न 5.
निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :
6, 9, 8, 7, 6, 7, 3, 6, 5, 6, 4
हल
उक्त आँकड़ों के निरीक्षण से हमें ज्ञात होता है कि आँकड़े 6 की आवृत्ति अधिकतम है।
अत: बहुलक = 6

प्रश्न 6.
बहुलक को परिभाषित कीजिए।
हल
आँकड़ों के किसी संग्रह या संकलन में जिस प्रेक्षण की आवृत्ति (बारम्बारता) अधिकतम होती है। उस प्रेक्षण को संग्रह का ‘बहुलक’ कहते हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों से माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 2.
एक कक्षा के 50 छात्रों के भार नीचे की सारणी में प्रदर्शित हैं

इन छात्रों के भार का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल
माना कल्पित माध्य, A = 47 किग्रा

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 4.
निम्नलिखित सारणी से माध्य की गणना कीजिए

हल

प्रश्न 5.
यदि निम्नांकित आँकड़ों का माध्य 15 है तो p का मान ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 6.
यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य 1.46 है, तो f₁ और f₂ के मान ज्ञात कीजिए:

बारंबारताओं का कुल योगफल 200 है।
हल

⇒ 140 + f₁ + 2f₂ = 1.46 (86 + f₁ + f₂) …….(1)
पुनः बारंबारताओं का योग 86 + f₁ + f₂ = 200
⇒ f₁ + f₂ = 114 …….(2)
समी० (2) से (f₁ + f₂) का मान समी० (1) में रखने पर,
140 + f₁ + 114 = 1.46(86 + 114)
⇒ f₁ = 292 – 254 = 38
समी० (2) से f₂ + 38 = 114
⇒ f₂ = 76
अत: f₁ और f₂ के मान क्रमशः 76 व 38 हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल

यहाँ, N = 43 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद =

$\left(\frac{N+1}{2}\right)$

(2N+1​) वाँ पद
=

$\frac{43+1}{2}$

243+1​ वाँ पद
= 22 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 22वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 29 है।
माध्यिका = 22वें पद का मान = 11

प्रश्न 8.
निम्नलिखित सारणी में माध्यिका जेब खर्च ज्ञात कीजिए

हल
आँकड़ों को आरोही क्रम में रखते हुए संचयी बारंबारता सारणी बनाने पर

यहाँ, N = 61 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद =

$\left(\frac{N+1}{2}\right)$

(2N+1​) वाँ पद
=

$\frac{61+1}{2}$

261+1​ वाँ पद
= 31 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 31वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 33 है।
माध्यिका = 33 वें पद का मान = 15

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी से माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए

हल
संचयी बारंबारता के लिए सारणी

यहाँ n = 24 अर्थात् पदों की संख्या सम है।
मध्य पद =

$\frac{N}{2}$

2N​ वाँ पद + (

$\frac{N}{2}$

2N​ + 1) वाँ पद
=

$\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)$

224​+(224​+1) वाँ पद अर्थात् 12वाँ व 13वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 12वाँ व 13वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 15 है।

पुनः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता 8 पद 25 की है।
अभीष्ट बहुलक = 25

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल

बहुलक के लिए वर्ग 3 – 5 है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 3
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 5 – 3 = 2
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 9
बहुलक वर्ग से ठीक पूर्व की बारम्बारता (f₁) = 8
बहुलक वर्ग से ठीक बाद की बारम्बारता (f₂) = 3

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी को ध्यान से पढ़िए तथा b और d के मान लिखिए

हल
वर्ग 25 – 30 की संचयी बारम्बारता = 9 + b
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = 15
⇒ 9 + b = 15
⇒ b = 15 – 9 = 6
इसी प्रकार, वर्ग 35 – 40 की संचयी बारम्बारता = 22 + 4 = 26
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = d
⇒ d = 26
अतः b = 6 और d = 26

प्रश्न 12.
कक्षा X के 100 विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त अंक नीचे सारणी में दिए गए हैं। प्राप्त अंकों का माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल
असतत श्रेणी को सतत श्रेणी में बदलने पर,

यहाँ, N = 100
⇒

$\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$

2N​=2100​=50
संचयी बारम्बारता से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 65 के अन्तर्गत है, इसलिए (69.5 – 79.5) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 69.5
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 79.5
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 79.5 – 69.5 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 30
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 35

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य लघु विधि (विचलन विधि) से ज्ञात कीजिए

हल
माना कल्पित माध्य, A = 35 है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य 113

$\frac{23}{29}$

2923​ है। इसमें अज्ञात राशि X का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल
माना कल्पित माध्य, A = 100 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटनों की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल
उपर्युक्त बंटन की संचयी बारंबारता सारणी निम्नवत् है

यहाँ N = 37
⇒

$\frac{N}{2}=\frac{37}{2}=18.5$

2N​=237​=18.5
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 18.5 संचयी बारम्बारता 29 के अन्तर्गत है, इसलिए (20 – 30) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 20
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 30
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 30 – 20 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 12
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 17

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए माध्य ज्ञात कीजिए :

हल

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 – Jac Board Solutions

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Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Text Book Questions and Answers.

Jharkhand Jac Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Jac Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = _________ है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती __________ है। ऐसी घटना __________ कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, _________ है। ऐसी घटना ___________ कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग _________ है।
5. किसी घटना की प्रायिकता ___________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ________ छोटी या उसके बराबर होती है।

उत्तर

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
5. किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
4. एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

उत्तर

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अत: यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की सम्भावना भी उतनी ही है जितनी की उसके गलत होने की है। अत: यह प्रयोग समप्रायिक है।
4. एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़की या लड़का होने की सम्भावनाएँ समान हैं। अतः प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
उत्तर
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, एक सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्का सममित होता है और उसकी उछाल (tossing) निष्पक्ष (unbiased) होती है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A)

$\frac{2}{3}$

32​
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर
चूँकि प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है तो ‘E-नहीं की प्रायिकता क्या है?
हल
दिया है, P(E) = 0.05
‘E-नहीं’ की प्रायिकता = P(E’) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05
= 0.95
अतः घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता P(E’) = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
हल
∵ थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यदृच्छया एक गोली निकाली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली हो, इसकी प्रायिकता शन्य होगी।

(ii) सभी गोलियों में नीबू की महक है। इसलिए नीबू की महक वाली गोली निकलने की घटना एक निश्चित घटना है।
अत: इसकी प्रायिकता 1 होगी।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल
माना E = 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन न होने की घटना
P(E) = 0.992
P(E) + P(

$\bar{E}$

Eˉ) = 1
0.992 + P(

$\bar{E}$

Eˉ) = 1
P(

$\bar{E}$

Eˉ) = 1 – 0.992 = 0.008
अतः 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 8
माना E = एक लाल गेंद निकालने की घटना
(i) गेंद लाल होने की घटना के अनुकूल परिणाम n(E) = 3
गेंद लाल होने की प्रायिकता P(R) =

$\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}$

n(S)n(E)​=83​
अत: गेंद लाल होने की प्रायिकता =

$\frac{3}{8}$

83​
(ii) तब गेंद लाल न होने की प्रायिकता P(R’) = 1 – P(R)
= 1 –

$\frac{3}{8}$

83​
=

$\frac{5}{8}$

85​
अत: गेंद लाल न हो, इसकी प्रायिकता =

$\frac{5}{8}$

85​

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = (5 + 8 + 4) = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल सम्भावित परिणाम = 17
(i) निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 5
अत: निकाला गया कंचा लाल होने की प्रायिकता

(ii) निकाला गया कंचा सफेद (W) हो, इसके अनुकूल परिणाम = 8
अत: निकाला गया कंचा सफेद होने की प्रायिकता

(iii) यदि हरा कंचा होने की घटना G हो तो घटना के अनुकूल परिणाम = 4
हरा कंचा न होने की घटना G के अनुकूल परिणाम = 17 – 4 = 13
अतः हरा कंचा न होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹ 1 के पचास सिक्के, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) ₹ 5 का नहीं होगा?
हल
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 50
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब

(i) यदि गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की घटना न हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 100
कुल सम्भव परिणाम = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
अतः गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की प्रायिकता P(H) =

$\frac{100}{180}=\frac{5}{9}$

180100​=95​

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने के अनुकूल परिणाम = 10
गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने की प्रायिकता =

$\frac{10}{180}=\frac{1}{18}$

18010​=181​
अत: गिरा हआ सिक्का ₹ 5 का न होने की प्रायिकता = 1 –

$\frac{1}{18}$

181​ =

$\frac{17}{18}$

1817​

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल -जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यदृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (आकृति देखिए)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल
दुकानदार की टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 नर + 8 मादा = 13 मछली
कुल सम्भव परिणाम = 13
टंकी में से 1 मछली यदृच्छया निकालने पर, निकाली गई।
मछली नर होने के अनुकूल परिणाम = 5
नर मछली होने की प्रायिकता

अत: निकाली गई मछली नर होने की प्रायिकता =

$\frac{5}{13}$

135​

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (आकृति देखिए) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल
संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है, तो तीर के विश्राम आने पर इंगित कुल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणाम = 1
उपर्युक्त घटना की प्रायिकता,

अत: संख्या 8 को इंगित करने की प्रायिकता =

$\frac{1}{8}$

81​

(ii) तीर द्वारा एक विषम संख्या अंकित करने के परिणाम = (1, 3, 5, 7) = 4
विषम संख्या इंगित होने की प्रायिकता

अत: विषम संख्या इंगित करने की प्रायिकता =

$\frac{1}{2}$

21​

(iii) 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (3, 4, 5, 6, 7, 8) = 6
2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता =

$\frac{3}{4}$

43​

(iv) 9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल
एक पासे को यदृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव
परिणामों की संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
यहाँ अभाज्य संख्याएँ = (2, 3, 5) = 3
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = (3, 4, 5) = 3
विषम संख्याएँ = (1, 3, 5) = 3
अतः प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणाम = 3
प्रत्येक घटना की प्रायिकता =

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

63​=21​
अत: पासे पर
(i) अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता =

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

63​=21​
(ii) 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता =

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

63​=21​
(ii) एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{2}$

21​

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
(i) लाल रंग का बादशाह होने की घटना (A)
गड्डी में कुल 4 बादशाह होते हैं जिनमें पान तथा ईंट का बादशाह लाल होता है।
लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
घटना A की प्रायिकता

अत: लाल बादशाह होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{26}$

261​

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (B)
प्रत्येक समूह में 3 फेस कार्ड्स (बादशाह, बेगम व गुलाम) होते हैं।
गड्डी में कुल फेस कार्ड = 3 × 4 = 12
घटना B के अनुकूल परिणाम = 12
घटना B की प्रायिकता

अत: एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता =

$\frac{3}{13}$

133​

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (C)
कुल फेस कार्ड्स = 12
लाल रंग का तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
घटना C के अनुकूल परिणाम = 6
घटना C की प्रायिकता

अतः लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता =

$\frac{3}{26}$

263​

(iv) पान का गुलाम होने की घटना (D)
गड्डी में पान का एक ही गुलाम होता है। अत: घटना D के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
घटना D की प्रायिकता

अतः निकाले गए पत्ते के पान का गुलाम होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{52}$

521​

(v) हुकुम का पत्ता होने की घटना (E)
गड्डी में हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
घटना E के अनुकूल परिणाम = 13
घटना E की प्रायिकता

अत: निकाला गया पत्ता हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता P(E) =

$\frac{1}{4}$

41​

(vi) ईंट की बेगम होने की घटना (F)
गड्डी में ईंट की केवल एक ही बेगम होती है।
घटनां F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब, घटना F की प्रायिकता

अतः निकाला गया पत्ता ईंट की बेगम होने की प्रायिकता P(F) =

$\frac{1}{52}$

521​

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है।
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल
ताश के 5 पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया और फिर इसमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
इसके कुल सम्भव परिणाम = 5
(i) यदि निकाला गया पत्ता बेगम हो तो इस घटना के अनुकूल परिणाम = 1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{5}$

51​

(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और शेष पत्तों में से फिर एक पत्ता निकाला जाता है।
तब, कुल सम्भव परिणाम = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) दूसरा पत्ता इक्का होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{4}$

41​
(b) दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम = शून्य क्योंकि इन पत्तों में बेगम है ही नहीं।
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता =

$\frac{0}{4}$

40​ = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
अच्छे पेनों की संख्या = 132
तथा खराब पेनों का संख्या = 12
मिश्रण में पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
मिश्रण में से एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 144
अच्छा पेन निकलने के अनुकूल परिणाम = 132
अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता

अतः अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता =

$\frac{11}{12}$

1211​

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल
समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है तो
(i) बल्ब खराब होने के अनुकूल परिणाम = 4
कुल सम्भव परिणाम = 20
बल्ब खराब होने की प्रायिकता

अतः बल्ब खराब होने की प्रायिकता =

$\frac{1}{5}$

51​

(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है तो इसे पुन: बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है। शेष बल्बों मे से पुन: एक बल्ब निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 20 – 1 = 19
तथा खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणाम = 4
तब, बल्ब खराब निकलने की प्रायिकता =

$\frac{4}{19}$

194​
बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = 1 –

$\frac{4}{19}$

194​ =

$\frac{15}{19}$

1915​
अत: निकाला गया बल्ब खराब न होने की प्रायिकता =

$\frac{15}{19}$

1915​

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल
डिस्कों की कुल संख्या = 90
यदि एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो
कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3, 4,……….., 90) = 90
इन परिणामों में दो अंकों वाली संख्याएँ = (10, 11, 12,……….., 90) = 81
(i) दो अंकों की संख्या अंकित डिस्क निकलने के अनुकूल परिणाम = 81
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर दो अंकों की संख्या अंकित होने की प्रायिकता =

$\frac{81}{90}=\frac{9}{10}$

9081​=109​

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) = 9
डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 9
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता =

$\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$

909​=101​

(iii) 5 से. विभाज्य संख्याएँ = (5, 10, 15, 20, ……….., 90) = 18
डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 18
और कुल सम्भव परिणाम = 90
अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने की प्रायिकता =

$\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$

9018​=51​

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल
दो पासों पर A तथा एक-एक पासे पर B, C, D, E अंकित है।
पासा फेंकने पर कुल सम्भव परिणाम = 6
(i) पासा फेंकने पर A प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
अतः पासे पर A अक्षर आने की प्रायिकता =

$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

62​=31​

(ii) D प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः पासे पर D अक्षर आने की प्रायिकता =

$\frac{1}{6}$

61​

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यदृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?

हल
आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 m
वृत्त की त्रिज्या =

$\frac{1}{2}$

21​ m
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
=

$\pi \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$

π×(21​)2
=

$\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}$

4π​m2
जब एक पासा यदृच्छया फेंका जाता है, तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा।
गिरने (पतन) का सम्पूर्ण क्षेत्र = 6 m²
वृत्तीय क्षेत्र में गिरने की घटना का क्षेत्र =

$\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}$

4π​m2
तब, पासे की वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता

अत: पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता =

$\frac{\pi}{24}$

24π​

प्रश्न 21.
144 बॉल-पेनों के समूह में 20 बॉल-पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यदृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल
समूह में कुल बॉल-पेनों की संख्या = 144
खराब बॉल-पेनों की संख्या = 20
ठीक बॉल-पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
पेनों के समूह में से दुकानदार यदृच्छया एक पेन निकालता है
बॉल-पेन के अच्छा-बुरा होने सम्बन्धी कुल सम्भव परिणाम = 144
बॉल-पेन के ठीक होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 124
बॉल-पेन खराब होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 20
हम ठीक बॉल-पेन ही खरीदना चाहेंगे।
बॉल-पेन को खरीद लेने की प्रायिकता =

$\frac{124}{144}=\frac{31}{36}$

144124​=3631​
बॉल-पेन के न खरीदने की प्रायिकता =

$\frac{20}{144}=\frac{5}{36}$

14420​=365​
अत: बॉल-पेन खरीदेंगे इसकी प्रायिकता

$\frac{31}{36}$

3631​ और हम वह बॉल-पेन नहीं खरीदेंगे, इसकी प्रायिकता =

$\frac{5}{36}$

365​

प्रश्न 22.
एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अंकित कीजिए।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता

$\frac{1}{11}$

111​ है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दो पासों को उछालने पर कुल सम्भव परिणाम निम्न है-
(i) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
n(S) = 36
(a) माना E₁ = दो पासों का योग 3 है = {(1, 2), (2, 1}}
n(E₁) = 2
P(E₁) =

$\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

n(S)n(E1​)​=362​=181​
(b) माना E₂ = दो पासों का योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(E₂) = 3
P(E₂) =

$\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

n(S)n(E2​)​=363​=121​
(c) माना E₃ = दो पासों का योग 5 है = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(E₃) = 4
P(E₃) =

$\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

n(S)n(E3​)​=364​=91​
(d) माना E₄ = दो पासों का योग 6 है = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
n(E₄) = 5
P(E₄) =

$\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}$

n(S)n(E4​)​=365​
(e) माना E₅ = दो पासों का योग 7 है = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
n(E₅) = 6
P(E₅) =

$\frac{n\left(E_{5}\right)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

n(S)n(E5​)​=366​=61​
(f) माना E₆ = दो पासों का योग 8 है = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(E₆) = 5
P(E₆) =

$\frac{n\left(E_{6}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}$

n(S)n(E6​)​=365​
(g) माना E₇ = दो पासों का योग 9 है = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(E₇) = 4
P(E₇) =

$\frac{n\left(E_{7}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

n(S)n(E7​)​=364​=91​
(h) माना E₈ = दो पासों का योग 10 है = {{4, 6), (5, 5), (6, 4}}
n(E₈) = 3
P(E₈) =

$\frac{n\left(E_{8}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

n(S)n(E8​)​=363​=121​
(i) माना E₉ = दो पासों का योग 11 है = {(6, 5), (5, 6)}
n(E₉) = 2
P(E₉) =

$\frac{n\left(E_{9}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

n(S)n(E9​)​=362​=181​
(j) माना E₁₀ = दो पासों का योग 12 है = {(6, 6)}
n(E₁₀) = 1
P(E₁₀) =

$\frac{n\left(E_{10}\right)}{n(S)}=\frac{1}{36}$

n(S)n(E10​)​=361​
अतः दी हुई सारणी पूरित रूप में निम्नवत् है-

(ii) विद्यार्थी का तर्क त्रुटिपूर्ण है क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बन्धित परिणामों की आवृत्तियाँ भिन्न-भिन्न हैं। अत: विद्यार्थी का तर्क असंगत है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल
एक खेल में एक रुपया यदृच्छया तीन बार उछाला जाता है। परिणाम चित को H तथा पट को T से इंगित करें और परिणाम अंकित करें तो सभी सम्भावित परिणाम निम्नवत् होंगे-

अतः हनीफ के हारने की प्रायिकता =

$\frac{3}{4}$

43​

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल
जब एक पासे को दो बार मे यदृच्छया फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्नवत् होंगे-

कुल सम्भव परिणाम = 36
वे परिणाम जिनमें 5 आता है = 11
वे परिणाम जिनमें 5 कभी न आता है = 36 – 11 = 25
(i) 5 न आने की घटना के अनुकूल परिणाम = 25
कुल सम्भव परिणाम = 36
5 किसी भी बार न आने की प्रायिकता

अतः 5 किसी भी बार में न आने की प्रायिकता =

$\frac{25}{36}$

3625​

(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणाम = 11
और कुल सम्भव परिणाम = 36
5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता

अत: 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता =

$\frac{11}{36}$

3611​

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता

$\frac{1}{3}$

31​ है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता

$\frac{1}{2}$

21​ है।
हल
(i) दो सिक्कों को उछालने पर सम्भव परिणाम = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
तब P(H, H) =

$\frac{1}{4}$

41​ तथा P{T, T) =

$\frac{1}{4}$

41​
और P{(H, T), (T, H)} =

$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

42​=21​
अत: छात्र का तर्क असत्य है।

(ii) जब एक पासे को फेंका जाता है तो कुल सम्भव परिणाम = 6
सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (2, 4, 6) = 3
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (1, 3, 5) = 3
विषम संख्या आने की प्रायिकता =

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

63​=21​
अत: छात्र का तर्क सत्य है।

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